第64章 塞瓦定理 梅涅勞斯定理

  第64章 塞瓦定理 梅涅勞斯定理

  看看時間，居然花了差不多十五分鐘，秦克搓了搓冰冷僵硬的手指，然後用力地掐了下大腿，讓自己的大腦保持著清醒，但身上的寒意越來越盛，偏呼出的氣息越來越灼熱，太陽穴也越來越脹痛，有種隱隱的暈眩感。

  秦克能明顯感覺自己的思維速度較之開考時又下降了不少。

  不行，要再加快點！

  秦克深吸口氣，強迫自己集中精神，繼續看向第二道附加題。

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  「附加題二：已知△ABC的三條邊BC、CA、AB上各有一點D、E、F，且滿足AD、BE、CF交於一點G，若△AGE，△CGD，△BGF的面積相等，求證：G是△ABC的重心。」

  秦克鬆了口氣，這題看起來較之剛才第一題倒是相對容易了些，主要知識點涉及到的是三角形五心中的「重心」，也就是三角形的三條中線相交的點。

  這是高中生都會的知識點，想證明G是△ABC的重心，只需要證明D、E、F是△ABC的中點即可。

  看似簡單，但想證明這點極不容易，因為題目中只給出了面積相等的條件。

  面積啊……

  秦克立刻試著用最擅長構造法加面積法來證明，但剛在腦海里思考了一會兒便發現不妥了。

  以目前的條件，無論怎麼構造，結合面積法，都只會讓問題變得更複雜，哪怕寫滿整頁紙，也未必能證明出來！那就真是純屬浪費時間和精力了！

  這是出題人的陷阱！

  可惡，這次出題的傢伙有點水平啊……偏偏自己的狀態不佳。

  秦克再次用力掐了自己大腿兩下，劇烈的疼痛終於讓他的大腦清明了十幾秒，他立刻捕捉住一閃而逝的靈光，對哦，平面幾何里不是有塞瓦定理、梅涅勞斯定理麼？

  尤其是解決三角形中的一點，以及三角形的三邊中的點之間的關係，最適合使用的就是邊元塞瓦定理和角元塞瓦定理！

  雖然這兩個定理生僻了點，但自己前天不是才給寧青筠講解過麼？

  秦克迅速便想到了證明思路，提筆便畫了個圖，然後寫道：

  「證明：如圖所示，設AF/FB=x，BD/CD=y，EC/EA=z，由邊元塞瓦定理可得xyz=1。

  對於△BFC和直線AGD，使用梅涅勞斯定理，可得FE/CG乘CD/DB乘BA/AF=1。

  ……

  由上式可得x=y=z，由xyz=1可得，x=y=z=1，因此可得出結論，D、E、F是△ABC的中點，所以G是△ABC的重心。原題得證。」

  寫了三十多行的證明過程，秦克長長地舒了口氣，這齣題人明顯是挖坑，專門針對的是自己這樣熟悉運用各種解題技巧策略的考生，一時不慎就要誤入歧途。

  連他這樣的老手也差點著了道兒，被慣用的解題技巧所惑、走個大彎路，使得這題的解法變得極為繁複艱辛，真要證明出來，怕得花上一個小時。

  幸好自己迅速發現了其陰謀，直接運用塞瓦定理、梅涅勞斯定理來破題，極大地縮短了證明的過程和耗盡的時間。

  ——學委啊學委，前天我才給你講過這塞瓦定理、梅涅勞斯定理，這題你可別中計，可是整整五十分哪！拿不到手多可惜！

  不過秦克現在已沒餘力再去思考寧青筠的事了，他的頭腦的暈暈沉沉感覺越來越嚴重，強打精神匆匆看了下兩道附加題的答案，見沒什麼錯漏，便將之折起來，當成墊紙壓到正卷和草稿紙下面，開始攻打正卷里的十道省級難題。

  這十道大題的難易程度同樣是與序號無關的，秦克也沒時間沒心思逐一審題了，反正目標是滿分，那就按順序一舉將所有題目全部攻克吧。

  他直接從第一道開始解起。

  「第1題：已知函數f(x)滿足f(x^2)-f(x)=1，求f(x)。」

  放在平時，這樣的題目秦克看一眼就能想到解題步驟甚至是心算出最終的答案，但這時他的狀態變得極為糟糕，看著題目的字眼，竟有些重影了。

  大腦更像是蒙上了一層水霧的鏡子，模糊不清。

  他勉力思考了將近三分鐘，才想出用構造遞推數列來解這題。

  吃力地用發軟的手捏緊筆，一筆一畫地寫完答案，秦克居然花了近七分鐘，身上更是不自覺地滲著虛汗。

  不用對著鏡子看，秦克也能猜到自己現在的臉色一定很不對勁，手更是冰冷得嚇人，偏偏唇乾舌燥，甚至有點胸悶想吐，難受得不行。

  看看時間，距離開考已過去了近一個小時。

  這還是秦克近月來第一次做數學試卷花了如此之長的時間，放在平時最佳狀態下，這份試卷他怕已全部做完了。

  不過秦克也沒力氣思考這些了，他裹緊身上的羽絨服，連續深呼吸幾下，冰冷的空氣透入胸腔，使得他能迅速強迫自己集中精神，然後繼續一題一題地做下去。

  但他的身體狀態越來越糟糕，開始發困發倦，思考的時間越來越長，解題花的時間也越來越久。

  接下來做題已不是智力與技巧的問題了，而將是毅力與體力的雙重考驗！

  ……

  鄧弘國是在省賽開考後才趕到省文體中心的，他昨天有個重要的會議沒法子缺席，一直到昨晚才結束，然後訂了最近一趟的飛機，凌晨出發，清晨時才抵達遠州機場。

  下了飛機後他連早飯也沒顧得上吃便直接坐上施存遠的車趕了過來。

  他這樣不辭勞苦千里奔波，為的自然是想親眼看看那個傳聞中極為厲害的、叫秦克的天才學生。

  現在國家集訓隊實在太缺這樣的天才苗子了，哪怕有五成的可能，鄧弘國也不願錯過。

  省奧數組委會的幾個領導聽聞這樣的大人物來了，哪會不過來作陪？鄧弘國連連擺手，示意由施存遠作陪即可，但盛情難卻，還是不得不與這幾個領導寒暄客套一番，耽擱了不少時間。

  好不容易放下茶杯，離開辦公室，鄧弘國與施存遠冒著凜冽的北風，走向考試大樓。

  鄧弘國揉揉眉心，借著寒風清醒大腦、驅散長途出差的疲憊，轉頭問旁邊的施存遠道：「存遠兄，這次省賽的兩道附加題，可是耗了我不少心血，你覺得怎樣？」

  施存遠凝眉道：「很難，第一道涉及到哈密頓問題，比較冷門，估計沒什麼考生能做得出。第二道題，你是專門針對秦克的吧？」

  聽到老同學發現自己題目的妙處，鄧弘國滿是血絲的眼中頓時露出了得意之色：

  「沒錯，第二題就是用來給秦克挖坑的。這小子對於各種奧數解題策略、技巧掌握得極好，運用這些技巧來解題已成了他的本能，我還專門給了如此美味的誘餌，他不上鉤才怪。」

  感謝「墨跡述真理」、「書友20200412155813055」、「大懵澤」的打賞！明天兩章都是大章，很舒爽！

  (本章完)

  （還有更新耶）