第1151章 更強悍的徐教授！

  第1151章 更強悍的徐教授！

  「設 X是域 k上光滑投影代數簇， e是與 k的特徵互素的素數， Hi(X， Qe )是 X的 i階e-adic上同調群， X與投影空間的超平面的交集是 X的子代數簇。」

  「與這個子代數簇的上同調類作 cup乘積定義出線性映射L：Hi(X， Qe)→ H^i+2(X， Qe )」

  「對於定義在Q上的光滑代數簇X，考慮其模p約化，而對幾乎所有p，約化都是好。給出定義在F_p上的光滑代數簇X_p，此時ζXp（s）=Z·Xp（P^-s）:=Eep（∑n≥1·Nn/n·pns）」

  黑板前，徐川臉上帶著淡淡的笑容，一邊將腦海中的思路整理出來書寫到黑板上，一邊解釋著自己的想法。

  站在徐川的身後，法爾廷斯饒有興趣的看著黑板上的算式。

  如果說數學界還有什麼公認的難題比七大千禧年難題要更難以解決，那麼由教皇亞歷山大·格羅滕迪克提出來的(Grothendieck)標準猜想無疑便是其中的一個。

  格羅滕迪克老先生在研究 Weil猜想時提出了標準猜想，並在該猜想基礎上，建立了 motive理論。

  而如今， motive理論一直指引著算術代數幾何的發展。

  除此之外，標準猜想有很多深刻的推論它可以推出 Weil猜想，而且可以推出弗羅貝尼烏斯在光滑投影代數簇的上同調群上的作用是半單的。

  

  與此同時，它還能推出代數簇中代數閉鏈的數值等價和同調等價是是同一個等價關係。

  可以說，格羅滕迪克提出的標準猜想是一座真正的數學寶藏，數學界可以從裡面挖掘出來的有價值的東西實在是太多太多了。

  目光落在面前的黑板上，法爾廷斯眼眸中帶著一絲好奇的神色。

  從徐川剛開始寫的這些數學公式來看，他應該是想要通過已經證明了的韋爾猜將光滑代數簇X解析延拓到全平面，進而滿足黎曼猜想。

  這條思路藉助了懷爾斯和泰勒等人的模定理，也就是谷山-志村證明的谷山-志村猜想，後者作為朗蘭茲綱領的特例，是證明費馬大定理的關鍵。

  但關鍵問題是，在L_E(s)在s=1處的展開性狀包含了E的結構信息k這是千禧七大難題之一的Birch和Swinnerton-Dyer猜想（BDS猜想），迄今尚未得到證明。

  「有意思，他準備怎麼做？」

  目光落在面前的背影上，法爾廷斯眼眸中閃爍著思索的神色，他將自己代入進了徐川的角度，沿著黑板上的算式繼續嘗試性的往下推衍著。

  腦海中的思緒如閃電，一項又一項看似可行的方案最終都被他推翻了。

  Hasse-Weilζ/ L函數包含了大量數論信息，而在對它的推衍過程中僅僅是對橢圓曲線定義的L_E(s)就涉及好幾個艱深的數學定理與猜想。

  現階段的數學界對一般的高維代數簇X都無能為力，所有成果幾乎都源於在志村簇上建立朗蘭茲綱領對應的嘗試上。

  「他該怎麼找到高維代數簇X的精確陳述，然後提出可能的證明路徑，並最終成功證明？」

  站在法爾廷斯的身旁，彼得·舒爾茨和陶哲軒等人眼眸中也帶上了一抹狐疑和驚訝。

  在場的所有人都是數學界真正的『神仙』，每一個都是手握一枚菲爾茲獎的頂尖大牛，徐川的研究思路對於他們來說自然很容易理解。

  但越是能夠理解這條研究思路，對於走通這條道路就越是感覺到困難，甚至是不可能。

  如果是一個人有這種想法，或許是他可能並不擅長這一領域的研究。

  但在場的所有人幾乎的都萌生了這條路難以走通或者說走不通的想法，那麼或許這條路，可能真的難以走通。

  除非徐川能直接今天在現場解決掉BDS猜想。

  否則這條研究思路怎麼看都是死路。

  而在今天解決掉BDS猜想這有可能嗎？

  辦公室中，一群數學界的頂尖大牛看著依舊還在繼續闡述自己的研究思路與方向的那個人，眼神中滿是複雜的情緒。

  黑板前，徐川倒是不太清楚這群人複雜的心理變化，在寫下了一行數學公式後，他轉過身，笑著開口道。

  「Weil猜想的第三部分可以視作關於有限域的代數簇的黎曼猜想，而有關於橢圓曲線上的有理點的問題主要涉及代數數論。」

  「相信在場的各位都很清楚這些，也很容易看出我的研究思路是基於韋爾猜想與光滑代數簇X解析延拓的。」

  「而在這方面有一個巨大的難題，那就是如何對橢圓曲線定義的L_E(s)進行處理，這方面的問題涉及到了BDS猜想等好些個數學難題。」

  「那麼，接下來我將展示自己研究思路中最為核心的關鍵！」

  「看好了！」

  說著，他黑板調轉了過來，擦掉了法爾廷斯之前對局部朗蘭茲對應猜想的研究思路，繼續寫道。

  「給出了ζK(s)在整個複平面上的解析延拓，延拓後的亞純函數ζK(s)僅在s=1處有單極點。類似的，此時我們也有函數方程和黎曼猜想。」

  「而針對通常亞純函數ζK(s)僅在s=1處有單極點我們通常將其稱為擴展黎曼猜想。」

  「給定Q上的橢圓曲線E，以r記其秩，將Q上所有橢圓曲線的同構類以高(height)排序，其平均秩有上界7/6，那麼滿足r=0的E在Q上所有橢圓曲線中占有一個正的比例。」

  「更進一步，將Weil-Hasse函數L(s，E)在s=1處的零點階數r_a為E的解析秩，既可滿足BSD猜想的E在Q上所有橢圓曲線中占有一個正的比例，再考慮了函數域的有限擴張，特別是二次擴張」

  黑板前，徐川一點一點的將腦海中的思路譜寫在黑板上。

  很快，一面黑板便已經占滿了全部的空白空間。不過這裡是研究數學大統一的地方，缺少了任何其他的東西都不可能缺少黑板。

  從角落中拖出另一面黑板，他繼續完善著自己腦海中的想法。

  手中捏著記號筆的徐川，已經全然忘卻了外界，也忘卻了自己所處的立場，只是一心一意地將自己腦海中的那座拼圖，一筆一划地描摹在了這個世界上。

  與此同時，辦公室中的所有人都跟隨著他手中那一支記號筆而挪動著自己的視線。

  「原來如此我明白了。」

  伴隨著最為核心的那一行關鍵公式展開，法爾廷斯的眼眸中露出了一抹恍然，盯著黑板前的那道背影在他的眼中產生了一絲錯覺。

  似乎此刻站在黑板前的那道身影，就像是他記憶中幾十年前他還處於青澀時代在課堂上曾偶然遇到過的那個偉岸的背影一樣。

  那時候的他才初入數學界，而遇到的那個人，卻是當時數學界最偉大的學者。

  然而此刻兩者的身影，仿佛在記憶中重迭了。

  「將數論與算數幾何的核心研究到了這種地步，難怪他能幹掉黎曼猜想這個宏偉的命題。」

  辦公室中，曾解決了費馬猜想的懷爾斯教授眼眸中閃過一絲釋然，呼出了一口長長的濁氣。

  一直以來，他都不太明白面前的這個人到底是怎麼做到的。

  但現在看來，所有的答案都已經在黑板上了，讓人不得不服。

  站在黑板的一側，一直都沒怎麼說話的陶哲軒深吸了口氣，感慨著輕聲說道。

  「引導數論/算術幾何發展的一條核心線索是數域和函數域的類比，更沒想到調群一個分類拓撲空間的工具居然能跟有限域上的代數簇解個數扯上關係……代數幾何還真是令人不可思議。」

  略微停頓了一下，他臉上露出了一抹苦澀的笑容，像是在感慨，也像是在自嘲。

  「都說我是二十一世紀新生代的『全能數學家』，但我也僅僅是擅長解析數論、調和分析、偏微分方程、算子代數這些東西而已。」

  「而這傢伙，真的還有他不懂的數學領域嗎？」

  「他在數學條路上到底走了多遠了？」

  站在他的身旁，詹姆斯·梅納德一臉無奈的開口道：「我可以認為你這是在群嘲嗎？」

  麻蛋！

  在這兩個全能的傢伙面前，僅僅擅長數論的他是不是應該挖個地洞鑽進去？

  說是如此，但事實上在數學界，能夠在數論這個龐大的分支領域站到金字塔頂尖，他已經超過了絕大部分的學者了。

  但偏偏，今天這會站在這個房間中的，全都是數學界的頂尖大牛。

  像老一輩的法爾廷斯、德利涅、懷爾斯這些傢伙就不多說了，幾乎每一個都是神仙般的存在。

  而相對年輕一輩的，這會正站在那裡板書的那傢伙就不必多說了。

  剩下的，無論是舒爾茨還是陶哲軒，乃至吳寶珠和佩雷爾曼好像都比他強。

  在這群人中，他好像是最弱的那一個。

  想到這，梅納德忍不住嘆了口氣，菲獎得主，亦有差距啊。

  不過好在他還年輕，未來還有機會研究其他的數學領域。

  黑板前，徐川依舊在全神貫注地不斷的板書著自己的研究思路，甚至不知道什麼時候開始，他已經連那講述的聲音都停下來了。

  辦公室中，其他人的細微的討論聲也停了下來，所有人都目不轉睛地看著台上的那人，看著他繼續寫著。

  此時此刻的徐川已經完全沉浸在了數字與算符的世界中，全然忘卻了外物與自我。

  那一行行數學算式從那鋒利如刀的記號筆下流淌而出，如同一個個美妙的音符，共同協奏著一曲無聲卻撼動人心弦的交響樂，湧入每一位聽眾的耳海中。

  也不知道過去了多久的時間，那一支已經寫滿了好幾面黑板，甚至塗改擦拭並重新抒寫的記號筆終於停了下來。

  「定義ζc（s）=x∈c∏（1-N（x）s）1」

  「x取遍C上的閉點，將其搬到射影曲線上」

  寫到這，徐川輕輕的抬起了右手，在黑板上劃開了一道行雲流水的軌跡，演變成最後一行算式。

  「ζ_C可以寫成Z_C(q^-s)的形式，Z_C(T)=P(T)/Q(T)，P，Q∈Z[T]。」

  如同敲下了休止符的琴鍵，當最後一字符寫下的時候，徐川終於停下來自己的手。

  轉身，他看向身後的一群人，透過他們的臉龐和視線看到了那一抹抹驚訝、詫異、瞭然等各種情緒。

  辦公室中，鴉雀無聲。

  雖然說少了一些掌聲讓徐川總覺得有些不適，但他還是輕咳了一聲，他笑著開口道：

  「如果我的思路沒有問題的話，我們只需要解決P(T)的所有零點都分布在函數方程的對稱圓|T|=q^{-1/2}上，就足夠繞開BDS猜想，將將光滑代數簇X解析延拓到全平面，進而滿足黎曼猜想了。」

  「這也意味著，對於萊夫謝茨標準猜想的研究，我們將會擁有一個全新的數學工具！」

  「相信我說的這麼直白了，以諸位的水平，應該不難理解我的研究思路。」

  站在黑板前，舒爾茨的眼眸中寫滿了凝重。

  Lesfschetz標準化猜想有許多不同的敘述形式，但主要關係的是一類對應的代數性。

  比如他之前解決過的著名的霍奇猜想也是如此，而這兩個難題的核心問題便是算子。

  尤其是萊夫謝茨標準猜想涉及到的Lesfschetz L算子，它的定義是依賴超平面截面W選取的。

  那麼通過對於相當有限的幾類簇，既可以曲線情形就是平凡的，也可以直接可以直接驗證代數性。

  儘管想要解決它並不是一件容易的事情，甚至可以說就連他自己都沒有辦法能夠在短時間內解決這個問題。

  但針對某一個難題，突破性的找到一條可行的研究思路，這正是徐川所擅長的領域之一。

  而且，有這個傢伙在，在找到了一條可行的研究思路後，要解決他或許也要不了多少的時間。

  畢竟此前他解決霍奇猜想、NS方程這些千禧年難題用時平均都沒超過一年。

  原本舒爾茨以為法爾廷斯就足夠強悍了，然而徐川卻比他還要變態！

  看樣子在兩條不同分工的研究路線上，他們已經落後了一大截了。

  （還有更新耶）